머리말

문제만들기에서는 학습자가 제시된 문제를 해결하는 것에 국한되지 않고, 문제의 조건과 해결 과정을 능동적으로 해석하고 변형하여 새로운 수학적 관계를 탐구하는 경험을 가지는 중요한 수학적 활동이다. 2022개정 수학과 교육과정([1])에서도 문제해결 과정과 결과의 의미를 재해석하여 주어진 문제를 변형하거나 새로운 문제를 만들어
해결하는 문제만들기 활동을 강조하고 있다. 특히, [11]에서는 주어진 문제를 푸는 활동을 국어 시간의 받아쓰기에 비유하면서, 문제를 만드는(구성하는) 활동은 수학작문이라고 하였다. 이것은 문제만들기의 과정은 문제해결 과정에서 드러난 문제의 수학적 구조를 이해하고 이를 새로운 문제 상황으로 확장하는 수학적인 창의적 활동임을 강조하는 것이다.

문제만들기는 문제해결 능력뿐 아니라, 수학적 구조의 분석, 수학적 추론, 창의성, 연결 역량 등을 기르는 데 중요한 역할을 한다고 말할 수 있다.
국내의 수학 문제만들기에 대한 연구에는 주로 What-If-Not 방법에 관련되어 있다. 이 방법은 주어진 문제의 속성을 열거하고, 특정 속성을 부정하거나 변화시킨 뒤, 새로운 물음을 만드는 방식이다. 안타깝게도 문제를 만드는 이 방법 이외에 수학 문제를 만드는 구체적인 방법이나 절차에 대한 연구는 충분하지 않으며, 수학교실에서 쉽고 효과적으로 활용할 수 있는 문제만들기 방법의 개발, 체계화가 필요하다.

특히, What-If-Not 방법이 문제의 조건, 속성을 폭넓게 변형시키는 것에 기반하므로, 이것과는 다른 방향에서 문제해결의 수학적 구조를 바탕으로 새로운 문제를 구성하는 문제만들기 방법을 탐구하고 체계화하는 것은 의미있을 것이다. 문제의 기술 자체보다는 문제해결의 수학적 구조에 근거한 문제만들기는 학습자와 교사 모두에게 교수학적으로 커다란 가치를 가질 수 있다. 학습자의 측면에서는 자신의 수학적 지식과 능력 수준에 적합한 문제를 스스로의 힘으로 만드는 경험을 가질 수 있으며, 교사의 측면에서는 교수-학습의 목적, 학습자의 요구, 다루는 수학 내용에 따라 수학교실 친화적인 문제만들기를 수행할 수 있을 것이다.

이와 관련하여 Lakatos가 ‘증명과 반박(Proofs and Rufutations)’에서 제안한 추측을 증명(부분추측으로 분해)하고, 주된 추측과 부분 추측을 개선하는 수학 탐구의 방법론은 수학 문제만들기의 새로운 접근을 개념화하는데 중요한 토양이 될 수 있다. 특히, 소박한 추측과 연역적 추측은 연역적 문제만들기를 개념화하는데 직접적인 이론적 단서를 제공하였다. Lakatos에 따르면, 연역적 추측은 증명이나 논증의 과정으로부터 만들어지며, 증명 과정을 분석, 조직하면서 형성된다. 연역적 문제만들기에서 ‘연역적’이라는 표현은 Lakatos의 연역적 추측의 ‘연역적’의 의미과 그 맥을 같이 하며, ‘연역적’은 근거없이 결과만을 추측하는 것이 아니라, 논증과 문제해결로부터 새로운 수학적 탐구 대상(수학 문제)을 이끌어 낸다는 의미를 내포한다. 이러한 관점에서 연역적 문제만들기는 문제해결(풀이)이 형상된 문제에 선행하는 문제만들기 방법이다.

일반적인 문제해결은 문제가 제시되고 그 문제에 타당한 해결 과정을 탐색하는 방향으로 진행되지만, 연역적 문제만들기에서는 특정한 문제(원래문제라고 불리는)의 해결 과정을 조사하여 문제해결의 구조적 단위인 하위구조를 분석하고, 그 후에 각 하위구조의 불변인 것, 가변인 것을 조사하여 가변인 것을 변형하여 새로운 문제(변형된 문제)를 구성하게 된다.

이 책에는 연역적 문제만들기의 개념화, 교수학적 의미, 연역적 문제만들기의 단계, 각 단계의 특징, 구체적인 연역적 문제만들기의 사례들이 포함되어 있다. 제 1장에서는 연역적 문제만들기의 개념화 과정, 연역적 문제만들기의 단계인 ‘문제해결의 구조 분석→문제해결의 하위구조 탐구→연역적 문제구성’을 설명하고, 각 단계의 특징과 역할, 교수학적 의미를 구체적인 예들과 함께 기술하였다. 그리고 연역적 문제 만들기에 대한 수학교육학 분야의 연구들을 조사하여, 체계적으로 정리하고 그 확장가능성을 모색하였다.
제2장에서는 고등학교 수학교실에서 다룰 수 있는 한 문제를 원래문제로 선정하고, 이를 바탕으로 연역적 문제만들기를 수행하였다. 이 장에서는 원래문제를 분석하여 연역적 문제만들기를 통해 구성한 문제들을 대학수학능력시험에 출제된 수학 문항과 연결성을 확인하였으며, 연역적 문제만들기가 평가 문항의 구조를 분석하고 새로운 문항을 구성하는 데에도 활용될 수 있음을 보였다.

제 3장에서는네제곱의 합에 대한 항등식을 증명하는 문제와 대칭식으로 이루어진 연립방정식의 실근을 구하는 문제를 원래문제로 하였고, 제 4장에서는 다항식의 구조를 재구성하여 인수분해하는 문제와 분수지수 및 음의 지수를 포함한 식을 주어진 조건에 따라 간단히 하는 문제를 원래문제로 하였다. 그런 다음, 문제해결의 구조 분석, 문제해결의 하위구조 탐구 단계를 거쳐 문자, 계수, 인수분해 방식, 지수, 주어진 조건 등을 변화시켜 새로운 문제들을 연역적으로 만들고 일반화를 시도하였다.
제 5장에서는 여러 제곱근호의 합으로 주어진 대수적 부등식을 기하학적으로 해석하여 증명하는 문제를 원래문제로 하였고, 제 6장에서는 무리방정식과 대칭적인 연립방정식을 삼각함수로 치환하여 해결하는 문제를 원래문제로 하여, 연역적 문제만들기 활동의 사례를 제시하였다.

이 책을 집필하면서 수식의 계산, 자료의 정리 등에서 인공지능(AI)을 활용하였다. 이미 AI의 연산 능력과 추리 능력이 상상을 초월할 정도로 빠르게 높은 수준으로 발전했고 또 하고 있기 때문에, 학술 연구 등에서 AI의 활용을 배척하는 것은 의미가 없을 것으로 생각된다.

마지막으로, 출판을 격려해 주시고 여러 가지 도움을 주신 교우사 사장님과 직원들께 감사의 말씀을 드린다.

2026년 한여름에 땡볕을 사랑하며
저자 씀